函数


若f(x)为偶函数，则f(x)=f(∣x∣)

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函数单调性的判定


(1)求导法
(2)定义法
(3)性质法
①
增+增=增
减+减=减
增-减=增
减-增=减
②
复合函数“同增异减”
③
f(x)与1/f(x)的单调性相反(f(x)≠0)

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奇偶函数的判定


(1)定义法
(2)性质法
①偶函数的和、差、积、商仍为偶函数
②奇函数的和、差为奇函数
③奇(偶)数个奇函数的积、商为奇(偶)函数
④一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数

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奇函数特性


奇函数f(x)定义域为R，必有f(0)=0

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复合奇偶函数的对称问题


f(x)=f(-x+2a), f(x)的对称轴为x=a

f(x)=-f(-x+2a), f(x)的对称中心为(a,0)

f(x)+f(-x+2a)=2b, f(x)的对称中心为(a,b)

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函数周期常用结论(可由正、余弦函数图像推出)


(1)
若f(x+a)=-f(x), 则T=2a
若f(x+a)=∣1/f(a)∣, 则T=2∣a∣

(2)
若f(x)有相邻对称中心(a,0), (b,0), 则T_min=2∣a-b∣
若f(x)有相邻对称轴x=a, x=b, 则T_min=2∣a-b∣
若f(x)有相邻对称中心(a,0)和对称轴x=b, 则T_min=4∣a-b∣


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幂函数


在第一象限，
α>0,递增
α<0,递减

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指数函数


一象限，底数越大越靠近y轴

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对数函数


底数越大越靠近x轴

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指数函数、对数函数的值的大小比较


①同一函数利用单调性
②不同函数，利用性质，画图比较大小
③不同函数，利用特殊值如0、1作为中间量

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e≈2.7
√e≈1.64
√2≈1.41
√3≈1.73
√5≈2.2

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三角函数定义的应用


设∠α的终边上任意点为(x,y)，则：
r²=x²+y²
Sinα=y÷r=对边÷斜边
Cosα=x÷r=临边÷斜边
Tanα=y÷x=对边÷临边

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import math


def true_degree(x):
    xx = x
    x = math.fabs(x)
    k = int(x/90)
    degree = x - k * 90
    
    kk = k%4
    if xx>0:
        kk = kk+1
    elif xx<0:
        kk = -kk-1
        
    if k/2 == int(k/2):
        print('偶不变，符号看{}象限\n\n'.format(kk) + str(degree)+'°')
    
    else:
        print('奇变，符号看{}象限\n\n'.format(kk) + str(degree)+'°')
    

        
true_degree(1050)
print('\n\n' + '→' * 10 + '\n\n')
true_degree(-1200)

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余弦2倍角公式


Sin²α=(1-Cos2α)÷2
Cos²α=(1+Cos2α)÷2

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三角形面积公式


S=(1/2)abSinC

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直线斜率


直线斜率取值范围是(0,π]

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直线与圆锥曲线相交的弦长公式


d²=(1+k²)(x1-x2)²

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圆与圆的位置关系判定


两圆外离⇔d>r1+r2
两圆外切⇔d=r1+r2
两圆相交⇔∣r1-r2∣<d<r1+r2
两圆内切⇔d=∣r1-r2∣
两圆内含⇔d<∣r1-r2∣

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告诉我平行于X轴的两条直线分别与抛物线相交是为了让我用抛物线上一点到准线的距离等于该点到焦点的距离，即抛物线第二定义。

同时，抛物线与直线相交的有关问题，一般需要画出直角梯形。

在该梯形或四边形中，如果有一个中点，多半需要设出另一个中点。有了两个中点，就有中边平行于上下边、中边等于上下边合的一半。

在梯形中如果出现两三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。接着就有同角相似三角形的对角边互相平行。

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曲线与直线相交，通常直线以点斜式的形式得到。然后将它与曲线方程联立，根据不同需要得到关于x或y的一元二次方程，进而得到维达式。

如果需要中点，直接两点横纵坐标相加除以2。

如果需要中点的轨迹方程，将x和y分别对应等于带参的中点坐标，得到参数方程。消去参数即可。

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三角形一边平行于x轴，其高一定可以通过观察y轴简单得出。(平行于y轴同理)

若三角形与x轴相交，其面积一定可以通过以x轴在该三角形内截距的长度为底边、平行于y轴的线段为高求得。(与y轴相交同理)

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涉及带有变量的分式不等式，首先考虑分母的正负，然后将其化为整式不等式。

涉及到由两个不等号共同控制的不等式，可先将其拆分为左、右两个不等式再分别计算。

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大题第一问求单调性所得的函数最值，在第二问多半是有用的，需要特别留心，万一是0就很好。

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万般无奈下，面对一个不等号两边都带有变量的不等式，先将所有项移到不等式的一边，使另一边为0。(优先由简单项向复杂项方向移动)

这时，把非0一边的各个项看作一个整体、一个函数，给它取个名字，如g(x)。

于是问题就变成了g(x)在定义域内恒大于0或小于0的问题。

如果g(x)是非基本初等函数，你可能需要先求g(x)的导函数g'(x)。然后灵活运用g(x)零点与g'(x)零点的关系来解决问题。

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形如x=…和y=…的参数方程，实质上是其所代表的几何体(线)上的任意一点。

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绝对值符号内的式子，如果可以分成两块，同号取最大值，异号取最小值。

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当我说抛物线(或任何线)上一点与x轴上一点连接成的直线垂直于x轴，我其实是要告诉你，在曲线上这一点和在x轴那一点共用一个x轴值。也许你可以通过代入这个x轴值到抛物线方程(或任何线方程)，得到在那条线上的那个点的y轴值。

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圆锥侧面积 = (1/2)×2πr×l = πrl

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没人关心你是怎么把题做出来的，所以算法题从右到左、从下到上以逗号分隔，依次计算每一步。

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在求某式在线性域的最值时，不一定非要以y值为该式(z)的参照量，x值也可以。

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对于新定义求数列前n项和的问题，如果n≦15，可以大胆的采用从第1项加到第n项的方法。它可能是你会的最有效方法。

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写事件发生概率的值时，最好把事件代表的具体意义写一写，如事件A发生在一年内出险次数≦1的时候。

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计算带小数点的式子时，乘号不要用点来表示，以防看混出错。

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解答数学的过程中，要时刻记住，解法不止一个。有时候，纯粹的初中知识，就可以解一道高考题。

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几何证明一行体现一个完整逻辑。

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在几何证明中，看到非中位平行线要想到平行线分线段成比例，利用比例关系求得一些线的长度。

求长度时有特殊角会用到三角函数，没有特殊角就可能需要使用勾股定理。也要记住由勾股定理也可以反推出某三角形是直角三角形、某两条线互相垂直。

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几何体中，先证明线面垂直，然后才能求体积。

遇到不常见不规则体，既要想到可以由几个常见小几何体构成大几何体，又要想到可以用大几何体减去一个小几何体得到一个不规则体。

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看到lnx要想到x∈(0,+∞)。

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看到“已知函数f(x)…”那道题，遇到里面式子太难没思路，求导就对了。

然后你会发现导数方程的正负会影响原方程的单调性(这个导数方程可以丢掉恒为正的分母，只看分子)。

而原方程的单调性，正是求得题目要求的某变量的取值范围的关键。

不要问我如何看导数方程的正负，二次函数等函数的性质、Δ、开口方向、零点什么的啊，笨蛋。

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过一对称图形的对称轴上的一顶点，作在对称图形上交关于对称轴对称的两点所形成的两条直线，其夹角可能被对称轴平分。

如果对称轴是x轴，就能由夹角得到这两条直线的斜率。

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一变量同时满足两个方程式，你肯定愿意代入简单的直线方程，而不是圆锥曲线方程，对吧？

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极坐标系与直角坐标系是可互化的，解决极坐标系问题最稳妥的办法是将其化作直角坐标系问题。

极坐标与直角坐标互化的依据是：
ρsinθ=y
ρcosθ=x

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参数方程也最好化为直角坐标运算，转化的关键是消参。

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如果直线与圆相交，求弦长，不要急着用弦长公式。

用快捷方式：(半弦长)²+(弦心距)²=(半径)²。

一定能算出来，小心计算出错。

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试卷练的正是直接在试卷上写答案的本领，不要害怕错，鼓起勇气写。

写不出来才说明问题，这时草稿本才派上用场。

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没人在意你是否做对，对题目做完总结后，大胆的把正确答案写上去吧！

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树状图是解概率类题最好的方法。

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余弦定理：b²=a²+c²-2acCosB

公式的选用一般以所给余弦角为准。

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在椭圆中，长轴长永远是2a，短轴长永远是2b，不要搞混。

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知坐标求斜率，切记0--1=1。

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扇形面积=(n/360)πr² (n为圆心角的度数)

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(0,1]中的数与分数是相通的。

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在函数图像选择那道题，如果你看到一段距离是2，那么这段长的中点一定是1。由此可以把对应的坐标系数值补充到合适的水平，精确的代入特殊值验证图像。

必要时还可以通过求特殊点的导数得到斜率，此时斜率反映那个点所在直线的倾斜程度。斜率越接近0，直线越平缓。

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e≈2.7
√e≈1.64
√2≈1.41
√3≈1.73

这些特殊值在比较大小，图像排除判定时非常有用。

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在处理点线面问题时，对于超出正方体的情况，只需要多画一两个相接的正方体，再做商榷。(一个正方体不够用，画两个)

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(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx

遇到导数方程中带二倍角余弦的，多半需要把导数方程变成一元二次方程。

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在倒数两道选择题中，如果有三个选项给定区间都包含同一个端点值，那就是特殊点，代入题中验证即可。

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不管是向量的坐标表示，还是一条直线上的两个点，统统变成斜率的平行、垂直关系，再求参数。

因为你知道平行斜率相等，垂直斜率相乘等于1。

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遇到线性域求最值问题，务必画出图像、看清定义域后再行动，以免被忽悠。

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设B表示一个数列。

(B的n+1项)÷(B的n项)=常数x，始终表示关于(B的n项)的等比数列。

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解答数列题时，务必看清楚是求通项公式还是前n项和，免得吃力不讨好。

等比数列的前n项和公式(q≠1)：[a1(1-qⁿ)]÷(1-q)

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不管是正*棱锥还是正*棱柱，都包含一个“正”字，这个字代表该几何体的侧棱长都相等，并且底面为正几何图形。

在证明正三棱锥侧面的三角形垂线=中线时用得着(等边、等腰三角形三线合一，角平分线、中线、高线相互重合)。

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棱锥顶点P在底面的正投影为P'，实际代表直线PP'垂直于底面。

正三棱锥顶点P在底面的正投影为P'，P'为底面三角形的重心。

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看到两个相邻面有两条相交重心线，不要犹豫，把两个重心连起来，这会出现一对平行线，可以利用平行线分线段成比例算出两条平行线的具体值。

中位线出题出烂了，这个重心线考法没准会出现。

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数学中的传递原理在几何体中也有体现。

简单的，两条平行线产生的内错角相等。

难的，一条线分别垂直于两条相交直线，利用中位线原理使它平行于中位线，那么中位线也垂直于那两条相交直线，即垂直于那两条相交直线所在的平面。(不是中位线也行，随便哪条平行线都可以)

直线垂直于底面后，他们都可以成为某点在底面正投影后产生的直线。

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知道等腰三角形的一边和一角，利用正弦定理求其他边(包括高)，会快很多。

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实际类应用题非常扣字眼，稍不注意，第一问就会被坑。

出这种题是为了告诉我们，真实世界是复杂的，但并不是无规律可循。

如将普通解析式变成分段解析式。

不懂数学的人是解决不好实际问题的。

在预测未来的道路上，有人选用传统的数学方法，有人选用新的回归算法。这道实际应用题也是，既有传统题，也有新题。

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解答题中的小题分级制度，更像是一种引导，由浅入深，带你领略题目的内涵。

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抛物线问题如果不涉及焦点，就要考虑用纯代数方法解决问题。

设点，找关系，代入方程。此时表达式越简单越好。

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看直线与圆锥曲线的交点个数的代数方法是联立两方程，求其解的个数。有时也用Δ与0的关系做出一解、两解还是无解的判断。

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有一种过极点的直线的极坐标方程：θ=α

这是一条直线，换句话说，如果题目告诉你tanα=2，意味着这个极坐标方程可以通过tan与斜率的关系转为直角坐标方程。

即tanθ=2
⇒ρsinθ÷ρcosθ=2
⇒y÷x=2
⇒2x=y

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不同符号所代表的数集


Q, 有理数
R, 实数
N, 自然数
N*, 正整数

自然数：零和大于零的整数，即0，1，2，3，4，5，…。
正整数：大于零的整数，即1，2，3，4，5，…。

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如果在前5道选择题出现了椭圆，并且没告诉你这个椭圆的方程，那就大胆的设出它的标准方程。

最终用a²-b²=c²一定能把这个椭圆方程的参数补齐。这时题目就能变得简单许多。

双曲线同理。

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在复数题目中，若i是分母，消它时要注意分子和分母都要乘i，i²=-1。

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要想知道某线段的长度，先要知道两个端点。

要想知道某平面图形的面积，先要知道特定线段的长度。

要想知道某立体图形的体积，先要知道特定面的面积。

一环扣一环，由低级到高级转化，长度→面积→体积，不能越级。

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扇形的弧长与半径的关系


圆周长=2πr。

设扇形弧长为L， 则扇形夹角a比上360 就等于 L比上2πr。

即a/360=L/2πr。

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公式就像函数一样，不记住任你再大的本事也做不出什么东西。

整个高中阶段就数列的公式，反反复复翻，没记牢过。

所以要重点注意它。

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我们的祖先对数量的增与减并没有明确的概念。

在他们眼里，事物的增减更类似于谷堆的高与矮。

于是在函数的图像中，沿袭了这一理念，斜向上为增，斜向下为减。

就像谷堆的高度随着岁月的流逝而变化一样。

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任何学科的最高境界都是把知识内化为直觉。

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虽然程序框图题要照程序的思维去运行，但由于你是人类，死板的一步步无效率提升的工作是你不想做的。

所以当你走到第4个循环，发现规律后，大胆的跟着规律走吧，你已经升华了，悟出一个更高效的算法。

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正数的次方，即指数，在任何情况下都大于0。

这一点在函数逆用，对分段函数做定义域排除时很有用。

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如果把关于三视图的题出在倒数两个选择题中，就要明白这道题一定不简单，要特别注意实线与虚线的区别。

另外，圆柱被一个平面截去一部分后如果还是圆柱就没意思了，有心的出题人一般会想通过截取一部分使原图形发生变化，增加点难度。

所以圆柱被一个平面截去一部分后极有可能产生平面与曲面混合而成的立体图形。

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“万物”始于加法


10-2实际是在说“多少”加2等于10。

3×5实际是说3个5相加为“多少”。

4÷2实际是在说2乘以“多少”等于4。

2³实际是说3个2相乘等于“多少”。

√16实际是说2个“多少”相乘等于16。


把“多少”改为x，把x想象成未知，一切明了：

10-2实际是在说x加2等于10。

3×5实际是说3个5相加为x。

4÷2实际是在说2乘x等于4。

2³实际是说3个2相乘等于x。

√16实际是说2个x相乘等于16。


再复杂点的∑求和也类似。

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线性规划画图也有技巧，每画一条线就要用小圆圈标出它的序号，方便对应式子。

并且要在小圆圈旁边写上该式斜率，方便对比其与结果式直线倾斜程度的不同(斜率越接近0，直线越平缓)。

最后记住，假设z为正数，结果式是y=ax-z，求z的最大值变为求y的最小值，求z的最小值变为求y的最大值。

当然，你可以看出这原本就是利用y与z的等式关系做的计算。

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求三角形的面积，(二分之一)×(两边乘积)×(Sin两边夹角)不能用时，若告诉你它是直角三角形，不妨把a、b、c三边用勾股定理表示出来，组成一个式子，再与其他关系式组合，求出直角边，继而得到面积。

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线属于面的属于符号中间没有一横。

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从菱形说起


菱形是个特殊图形，它四边相等并具有平行四边形的一切性质——对边平行，对角相等 etc。

它的两条对角线相互垂直并平分四个角。这两条对角线把菱形分为4个直角三角形。

如果不出意外，它将是带特殊角的直角三角形。于是只需设菱形中任意一边为x，便可用正弦定理表示其它所有边。

菱形(与平行四边形)对角线的交点平分对角线，这让它经常成为立体图形中等腰三角形三线合一的“试验场”，就算是逆运用，你也要发现它。

更变态的，就是把等腰三角形变成等腰直角三角形，这样利用直角三角形射影定理就可以通过→菱形对角线的一半←求得这个等腰直角三角形的高。

高有什么用？求面积或体积呗！

不过说到高，最近不流行直接告诉你了。它让你自己找，比如告诉你等腰三角形的底边和腰长。

甚至，有时连等腰三角形都不告诉你。你要自己去找相等边。有时变成一种隐喻，告诉你沿同一条高旋转生成三个直角三角形，你要知道如果底边相等，你就会得到三个全等三角形。

而全等三角形出现了，相等边还会少吗？


关键字(百度专用)：菱形、三线合一、射影定理

总结：现在题目越来越抽象化，实际的数值减少，相反用字母表示参数越来越多。似乎是在告诉你不要害怕设未知数x。通法函数比具体数值重要。

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(焦点在x轴的抛物线图形的一半)和(圆图形的一半)所对应的方程都带有根号。

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线是直的，非线性就是弯的或折的。

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在数学题由具体数值向字母化转变的过程中，出题者为了进一步加深难度，可能会将公式中常用的如x、y变成其它字母，好让你迷失心智。

但有一件事你必须清楚，不管公式中的字母或公式的外形怎么变，它本质是等价的。

你可以把它提供的公式与你原本学到的联系起来，看看对应字母分别代表什么。

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线性回归方程题目是一个整体。

首先你要判断散点图显示的图像表示哪种回归方程，纯直线或是某种曲线的一部分。

其次，通过公式和提供的数据算出回归方程。

最后，应用回归方程解决实际问题。

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直曲联立(直线方程与曲线方程联立)得到的韦达式竟可以和→直曲交点与原点的向量的乘积←产生联系。

假设直曲交点为M、N，原点为O。

(向量OM)×(向量ON)
=(x1,y1)×(x2,x2)
=x1·x2+y1·y2

你可能会问y1·y2从哪儿来，其实，用两个分别带x1和x2的直线方程式子相乘就行。

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假设你手上有个关于x的等式或不等式，你需要在式子两头都除以x。

这时你要考虑清楚，x可能是零、正数或是负数。

若是正数就按常规操作；若是负数，不等式同时乘除x要变号；零不能除。

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a⇒b，b⇏a，a是b的充分不必要条件。

a⇏b，b⇒a，a是b的必要不充分条件。

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如果分式不等式右边是不为零的常数，先移项。因为未知数的符号难以确定，直接不等式两边同乘除会引发异常——漏解。

要是不这样做就需要分类讨论。但一定要注意每一种可能性的前提条件（前置定义域）一定要加在它对应的结论处。

这时你需要做的，就是看它前后定义域是否矛盾、结论是否包涵前提条件，以一句“综上所述…”了结这道题。

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在三角函数图像与参数选择那道题，给出的三角函数方程包含许多参数，需要把参数一一求出来。

大致有这样几个思路：

1.由图像得到函数的周期，反解出与周期相关的那个参数。

2.由图像直接看出sin或cos前面的系数，那个系数代表图像波动的最高点或最低点。

3.把零点以及其他给出具体数值的(x,y)点，代入函数求参数。

4.用辅助角公式把包含多个三角函数项的式子化为一个函数，方便计算。

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在一些比较好建系的平面图形或立体图形，如等腰(边)三角形，通过建系来解决问题不失为一个好方法。

建完系后涉及线段长度、中点(对称点)之类的问题也简单许多——中点的两倍=两个对称点的和。

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有些题目很搞怪，“平面ABC内的动点”，冷不丁还以为是“ABC内的动点”，完全两个性质嘛！

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类似e的2x次方，它们叫做复合函数。

对它们求导时，每个嵌套函数，由里到外，都要分别求导，最后把它们相乘。

(e的2x次方)'=(2倍e的2x次方)

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求多项式函数零点，如果嫌麻烦就用图像法吧！

把它分为左右两份，放在等号两边，根据不同函数的性质进行绘图。

最后观察两幅图像的交点，那便是零点。

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若求直线与圆相交时产生的弦长实在困难，可退而求其次，利用极坐标点的定义求出弦长。

按照定义，极坐标点为(ρ,θ)，其中ρ代表该点到原点的距离，θ代表该点与原点相连产生的角。

如果以极坐标方程的形式联立直线与圆，应该是能解出两个ρ的。大的减小的，即得弦长。

当然，到底要不要这样计算，题目会给你提示——θ=特殊角。

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关于三角形重心


1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若向量MA+向量MB+向量MC=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

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可爱的2


2³=8
2⁴=16
2的五次方=32
2的六次方=64

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几何全靠想象。

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有时带根号的常数不好比较大小，可以将它们平方后再比。

另外，遇到带未知数的绝对值的不等式，果断两边平方。

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“截去部分体积与剩余部分体积的比值”不小心就容易看成是“与整体的比值”，不该，不该啊！

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给你一个函数式子f(x)，问你使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围。

形如此类问题，多是要你利用(偶)函数的单调性解决问题。

把函数值的大小关系变为函数变量间的大小关系。

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若已知双曲线上一点的坐标与渐近线方程y=mx(此时m应该是一个分数常数)，求双曲线方程。


别管三七二十一，压概率，量它也只是考焦点在x轴的双曲线。

直接把m的分子当成b，分母当成a，写成焦点在x轴的标准方程形式，看下坐标是否满足式子。

如果给定坐标不满足式子，就又把分子当成a，分母当成b，写成焦点在y轴的式子。

你无需担心，只有两个式子，一个不行，另一个肯定行。

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已知双曲线、椭圆、抛物线的一个焦点在直线l上…


这实际上是要告诉我们这个焦点的坐标是多少，进而求出c或p。

先要确定焦点在x轴还是y轴，然后根据情况令直线l方程的y或x为零，求出另一个未知数就得到焦点坐标。

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直线方程与一元二次方程联立时根本不用害怕，y多半是可以单独放在等号一边的，此时替换y就显得非常明智。

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内角角平分线定理


角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

在三角形内，角平分线分对边所形成的两条线段，和两条邻边对应成比例。

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平面几何第二小问没思路怎么办


第一问会给提示，比如告诉你2sin∠B=sin∠C，那么你就要想办法让第二问出现sin∠B和sin∠C，从而利用第一问的结论。

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频数与频率的关系


1.各试验结果的频数之和等于试验的总次数。
2.各试验结果的频率之和等于1。
3.频数/总次数=频率。

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众数、中位数、平均数的图像意义


众数：取最高小长方形底边中点的横坐标。

中位数：把频率分布直方图划分为左右面积相等两部分的分界线与x轴的交点的横坐标。

平均数：每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和。

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谈直方图的分散程度，一为集中，二为分散。

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常见勾股数


3，4，5
6，8，10
5，12，13
7，24，25

1，√3，2
1，1，√2
1，√2，√3
1，2，√5
2，2√3，4

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把一个平面梯形当成两片纸平行拉开，会得到一个底面是梯形的直棱柱。

事实上三角形、四边形等都可以通过这样做得到一个棱柱。

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圆锥曲线大题通法(假想的通用解法)


在这类题目中，直曲相交一般会产生两个交点，假设为A、B。

在一些老式题目中，会涉及到这两个交点的中点。

中点自不必说，大家都知道是两端点的二分之一。

关键在于怎么设未知数。

依我所见，应该把A、B分别设为(x1,y1)、(x2,y2)。

这样方便表示中点。同时也方便与直曲联立得到的→一元二次方程的韦达式←产生联系。

除此之外，直线方程的设法也有讲究，它关系到→涉及y1、y2的中点的纵坐标←的表达式。

直线过原点直接设为y=kx，不过原点设为y=kx+b。

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x>0，讨论1-ax的正负


这是导数题的一部分，我把它拆分出来了。我只是想说，这里有个简单的东西被我忽略了。

刚开始不需要限制x的值，只需要看这个多项式的每个部分的符号即可，全正则正，全负则负。

这里1是恒正的，暂不管。-ax是不是正的，得看a，a>0⇒-ax<0；a<0⇒-ax>0。

加之从整体看，a=0⇒1-ax=1>0。

所以目前唯一能确定的，就是当a≤0时，不管x在定义域内取什么值，式子每一项都为正，整个式子为正。

可当a>0时，1与-ax出现了一正一负的情况，这时应该把1-ax的正负问题变成1和ax的大小问题，这就需要限制x的值了。

当1>ax，即1/a>x，1-ax为正；当1<ax，即1/a<x，1-ax为负。(别忘了此时a>0，1/a也大于0)

于是此时1-ax的正负，就取决于两个变量值的变化，a和x。

当a≤0，x∈(0,+∞)，1-ax>0。

当a>0，x∈(0,1/a)，1-ax>0；x∈(1/a,+∞)，1-ax<0。


看懂了吗？太变态了，第一小问就这么曲折。如果你有更好的想法，欢迎指教哦！

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如果你料到要硬解两个圆的交点，就不要把圆从极坐标方程变到标准方程了，一般式就挺好，方便消元。

求解的过程中，你可能会遇到一个带x、y的二元一次方程。不要惊慌，把它当成代数式再代回某个圆的方程就可以了。

话说回来，下次遇到圆方程联立不会解，不妨都化成一般式再做理会。

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tanα·x=y的意义


把tanα变成sinα÷cosα，把x、y分别变为ρcosα和ρsinα，你会发现两边恒等。

说明只要这个角度是α，其它都无所谓，不影响其含义。

事实上也如此，它本来就代表一条斜率为tanα的直线。

你可以把它变为极坐标方程：θ=α(ρ∈R)。

在题目中，你可能会从参数方程得到它——通过消参。

它的作用，technically，是代入两个圆的极坐标方程，得到A、B两极坐标点。利用三角函数的知识(包括辅助角公式、三角函数性质等)，求∣AB∣的最值。

≧∇≦，话说，sin和cos的最值不就是1和-1吗？

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√x²=∣x∣

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向量不过是带方向的线段。

在一些特殊几何形中可以来去自如——等价代换。

由此知，如果一些题目不指明某图形具体是什么。只说“△ABC…”，它描述的一些东西看起来满足所有三角形。

那就大胆地设三角形为特殊的等边三角形！特殊的东西，性质多一点，研究起来也方便一点。

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关于图


图和文字一样，只是表达事物的一种方式。我们看待事物，如果能从多方面、多角度进行，那我们对事物的理解就会更加深入。

在数学领域，图像是一个重要的工具，帮助我们去理解数学原理。初学者画图，会觉得枯燥无味，然而当他们熟练之后，便可在脑中构思图像。

坐标系、各种函数、几何体，都可以通过想象的力量直观的展现在我们的脑海里，供我们赏玩、研究。

You have to believe, imagination with various perspectives could make you learning math easier than you ever imaged before.

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偶函数关于y轴对称。
奇函数关于原点对称。

函数自变量加上绝对值，1、4象限图形以y轴为中线翻折到2、3象限，变成偶函数。

函数整体加上绝对值，3、4象限图形以x轴为中线翻折到1、2象限。


已是偶函数的cosx，就算自变量加上绝对值变成cos∣x∣，还是偶函数，什么都没变。

但把它整体套上绝对值，变成∣cosx∣，你就会发现在x轴下面的“突起”跑到x轴上侧了。

原先在上面跑2π才能遇到一个“突起”，现在跑一个π就行了，最小正周期由2π变成了π。

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关于抛物线，你要记住：焦点到抛物线上一点的距离=该点到准线的距离。

告诉了抛物线方程，实际就是告诉了焦点。

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线性规划选择题中，已知结果，求约束条件中的参数，你两眼一黑，就蒙了。

睁开眼，把选项中的参数代入约束条件，去检验结果是否正确。

目测这是解决出现在倒数第二的线性规划题目最好的小白方法了。

如果你嫌选项太多，可以选一些相近的数值为一组，比如负数代表一个性质为一组，一个负数代入验证不合格，就否定掉所有负数。(有猜测性质在里面)

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告诉你一个含ax³的式子满足xxx，求a的取值范围


如果是最后一道选择题，令a=0，排除一个选项。然后你就可以猜了。

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碰见类似于(e的x次方)<2这种不等式，式子两边同时加上ln，把底数e消掉即可。

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非等差、等比数列求和的几个要素


1.用有限的n(1,2,3,4...n)表示无限的项。

2.以无限的项消去无限的项，留下有限或有序的项。

3.任何有规律的项都是可表示的项。

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6×9=54

Not 72.

8×9=72

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标准差等于根号下n分之一乘以每个数减去平均数的差的平方的和。

方差是标准差的平方。

光记这个没用，会被坑。你还要知道：

方差=标准差²=∑[(小长方形底边中点的横坐标-平均数)²×对应频数÷总频数]

Don't forget 平均数 is 每个小长方形面积乘小长方形底边中点的横坐标之和。

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频率或概率，从人的直觉，是习惯以百分比来衡量的。

数学为了把它和自然世界的微观变化扯上联系，就把它变成了小数。

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